Масъалаи № 52. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{n-1}n}{n} \right|.\]
Ҳал.
Бигзор \(n\) - адади ҷуфт бошад. Пас, чунин адади \(k\) вуҷуд дорад, ки \(n = 2k\) мешавад.
Аз ин ҷо
\[1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2k-1) - 2k = \\ = \underbrace{(-1) + (-1) + ... +(-1)}_{k\, раз} = -k.\]
ва
\[\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \frac{4}{n} + ... + \frac{2k-1}{2k} - \frac{2k}{2k} = \\ = \frac{1-2+3-4+...+(2k-1)-2k}{2k} = \\ =\frac{-k}{2k} = -\frac{1}{2}.\]
Бигзор \(n\) - адади тоқ бошад. Пас, чунин адади \(k\) вуҷуд дорад, ки \(n = 2k + 1\) мешавад.
Аз ин ҷо
\[1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2k-1) - 2k + (2k+1) = \\ = \underbrace{(-1) + (-1) + ... +(-1)}_{k\, раз} + (2k+1) = \\ = -k + (2k+1) = k+1.\]
ва
\[\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \frac{4}{n} + ... + \frac{2k-1}{2k} - \frac{2k}{2k} = \\ = \frac{1-2+3-4+...+(2k-1)-2k+(2k+1)}{2k} = \\ =\frac{k+1}{2k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2k}.\]
Ба инобат мегирем, ки
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0\).
Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{n-1}n}{n} \right| = \frac{1}{2}.\]
Ҷавоб. \(\frac{1}{2}\).
